我来普及群论

ljr

群论是数学的一个分支，研究的对象是“群”(英文为Group)。

一般大学数学系，计算机系，物理系等可能会学习群论，群论的学习通常包含在名为《抽象代数》，《近世代数》或者《离散数学》等课程里面。

虽然是大学的课程，但是高中生甚至初中生完全可以弄明白。对于一个魔方爱好者，懂得一点群论的知识是很有好处的。大家如果直接看大学教材，因为教材不是为了魔方专门准备的，写得比较抽象，所以不容易看下去。

我打算在此针对魔方，从零开始，介绍用得着得群论知识。

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也就是说：

每个置换可以表示成若干个轮换的复合。  （包括长度为2对轮换，比如(12)，长度为2的轮换也叫对换）

而每个轮换又可以写成若干个对换的复合（乘积）。

比如（12345）＝(12) x(13) x(14) x (15)

所以，每个置换最终都可以表示成若干的对换的复合。

每个置换表示成对换的复合的形式不是唯一的，但是所有不同的表示中，对换的个数的奇偶性的不变的。

于是，一个置换称为偶置换，如果这个置换表示成偶数个对换的复合。一个置换称为奇置换，如果这个置换表示成奇数个对换的复合。

比如 f =(123)(4567)=(12)(13)  (45)(46)(47) 是一个奇置换。这里，我们把复合的符号“x”省略了。就像代数里 a x b  简记为 ab 一样。

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我们可以先不管一般的群的定义。对于魔方，我们只要知道一类特殊的群就行了。这一类特殊的群就是“置换群”(permutation group)。

在这里，我们先看看什么是置换群，然后看看魔方为什么是置换群。

1，什么是置换？

置换就是一种特殊的函数。函数的定义域是{1,2,3,...,n}，也就是从1到n的n个自然数。值域也是{1,2,3,...n}。
如果这个函数满足，对于不同的自变量，函数值都不一样，那么这个函数就称为一个置换。

下面举例。

比如定义域和值域都是{1,2,3}. 函数 f 满足

f(1)=3;
f(2)=2;
f(3)=1;

这时,f 就是一个置换。但如果 g 是这样定义的，g(1)=1,g(2)=1,g(3)=2，这g不是一个置换，因为1和2的函数值相同。

简而言之，一个置换就是把 1,2,3,...n 做了重新排列。

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我们知道，3阶魔方有26个小块，除了中心块不会动，剩下还有20个小块。在还原状态下，我们把这20个小块编号1到20。这20个小块所应该属于的正确位置也对于地编号为1到20。也就是说1号小块在还原状态下，应该在1号位置。

那么，魔方的任何一个状态都自然地定义了一个置换，定义域是20个位置，值域是20个小块。f(a)=b 就表示a号位置上的是b号方块。还原状态对应的置换就是f(a)=a，对每个a都是这样。 （注意：我们这里只考虑小块的位置，没有考虑方向）。

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当然，上面的这样一个置换不能完全反映魔方的状态。我们可以从另外一个角度来看。这20个小块一共有48个小色片（8 x 3 +12 x 2=48）。和前面一样，可以把这些小色片编号为1到48，它们所对应的正确位置也编号为1到48。（因为每个小色片只有一个正确位置）。这样，一个魔方的状态又可以看成定义域和值域都是{1,2,3,...,48}的一个置换。

以后，我们在不同的场合，会把魔方看成不同的置换。

ljr

2，置换的表示方法

前面我们用函数的形式来表示置换。下面介绍置换的一种简洁的表示方法。

比如我们刚才提到的置换f(1)=3, f(2)=2, f(1)=3，可以简记为 (132) ，在这个表示中，每个数的函数值是紧跟在它后面的那个，如果后面是括号“）”，其函数值回到这个括号里面的第一个数。


每个置换都可以这样表示。

再举个例子：g(1)=3, g(2)=4, g(3)=1,g(4)=2，可以简记为 (13)(24).

而(123)(45)(6) 则表示这样一个置换：

h(1)=2
h(2)=3
h(3)=1
h(4)=5
h(5)=4
h(6)=6

sunzhaowei

好复杂啊。。。。。还是去磨我的丙夜透了

noski

顶！希望楼主继续，支持理论原创！

zmw2009

给个睛吧

ljr

继续讲置换的表示。

我们前面讲的置换的简化表示中，如果某些括号中只有一个数，那么这个括号可以省略不写。

比如，7元集合{1,2,...7} 上的置换 (17)(26)(3)(4)(5) 就进一步简化成  (17)(26) 。所有没有出现的数字，置换都没有改变它们。

7元集合{1,2,...7} 上的另外一个置换 (123）表示的就是 (123)(4)(5)(6)(7)，也就是说，这个置换的作用就是，4,5,6,7不动，123三个数轮换了一下。

而(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 简写为 （1）

另外，3元集上置换(123)和(231)表示的是同一个置换，都是把1变得2，2变到3，3变到1。

3，置换的个数

1元集{1}上的置换只有一个，就是 （1）。

2元集 {1,2} 上的置换有两个，就是 (1) 和(12)。

3元集{1,2,3} 上的置换有6个，分别是 (1)， (12) ， (23)， (31) ，  (123) 和(132) 。

值得注意，2元集上的(1) 和三元集的(1)是两个不同的置换。我们用这种简略记号时，必须明确置换是在几元集上的。

一般地， n元集{1,2,...,n}上的置换有 n ! 个。（这里 n!=n x (n-1) x .... x 3 x 2 x 1 表示1到n的连乘，称为n 的阶乘）。

这个学过排列组合的朋友都应该知道的。

ljr

谢谢各位鼓励，继续写