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我来普及群论

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发表于 2008-9-5 18:47:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
群论是数学的一个分支,研究的对象是“群”(英文为Group)。

一般大学数学系,计算机系,物理系等可能会学习群论,群论的学习通常包含在名为《抽象代数》,《近世代数》或者《离散数学》等课程里面。

虽然是大学的课程,但是高中生甚至初中生完全可以弄明白。对于一个魔方爱好者,懂得一点群论的知识是很有好处的。大家如果直接看大学教材,因为教材不是为了魔方专门准备的,写得比较抽象,所以不容易看下去。

我打算在此针对魔方,从零开始,介绍用得着得群论知识。

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moleblogdj 该用户已被删除
发表于 2008-12-26 08:38:21 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2008-9-11 12:45:29 | 显示全部楼层
也就是说:

每个置换可以表示成若干个轮换的复合。  (包括长度为2对轮换,比如(12),长度为2的轮换也叫对换

而每个轮换又可以写成若干个对换的复合(乘积)。

比如(12345)=(12) x(13) x(14) x (15)

所以,每个置换最终都可以表示成若干的对换的复合。

每个置换表示成对换的复合的形式不是唯一的,但是所有不同的表示中,对换的个数的奇偶性的不变的。

于是,一个置换称为偶置换,如果这个置换表示成偶数个对换的复合。一个置换称为奇置换,如果这个置换表示成奇数个对换的复合。

比如 f =(123)(4567)=(12)(13)  (45)(46)(47) 是一个奇置换。这里,我们把复合的符号“x”省略了。就像代数里 a x b  简记为 ab 一样。
 楼主| 发表于 2008-9-5 19:10:32 | 显示全部楼层

一,置换群

我们可以先不管一般的群的定义。对于魔方,我们只要知道一类特殊的群就行了。这一类特殊的群就是“置换群”(permutation group)。

在这里,我们先看看什么是置换群,然后看看魔方为什么是置换群。

1,什么是置换?

置换就是一种特殊的函数。函数的定义域是{1,2,3,...,n},也就是从1到n的n个自然数。值域也是{1,2,3,...n}。
如果这个函数满足,对于不同的自变量,函数值都不一样,那么这个函数就称为一个置换。

下面举例。

比如定义域和值域都是{1,2,3}. 函数 f 满足

f(1)=3;
f(2)=2;
f(3)=1;

这时,f 就是一个置换。但如果 g 是这样定义的,g(1)=1,g(2)=1,g(3)=2,这g不是一个置换,因为1和2的函数值相同。

简而言之,一个置换就是把 1,2,3,...n 做了重新排列。

点评

听不得  发表于 2016-7-7 08:09

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 楼主| 发表于 2008-9-5 19:20:43 | 显示全部楼层
我们知道,3阶魔方有26个小块,除了中心块不会动,剩下还有20个小块。在还原状态下,我们把这20个小块编号1到20。这20个小块所应该属于的正确位置也对于地编号为1到20。也就是说1号小块在还原状态下,应该在1号位置。

那么,魔方的任何一个状态都自然地定义了一个置换,定义域是20个位置,值域是20个小块。f(a)=b 就表示a号位置上的是b号方块。还原状态对应的置换就是f(a)=a,对每个a都是这样。 (注意:我们这里只考虑小块的位置,没有考虑方向)。
 楼主| 发表于 2008-9-5 19:29:01 | 显示全部楼层
当然,上面的这样一个置换不能完全反映魔方的状态。我们可以从另外一个角度来看。这20个小块一共有48个小色片(8 x 3 +12 x 2=48)。和前面一样,可以把这些小色片编号为1到48,它们所对应的正确位置也编号为1到48。(因为每个小色片只有一个正确位置)。这样,一个魔方的状态又可以看成定义域和值域都是{1,2,3,...,48}的一个置换。

以后,我们在不同的场合,会把魔方看成不同的置换。
 楼主| 发表于 2008-9-5 19:53:41 | 显示全部楼层
2,置换的表示方法

前面我们用函数的形式来表示置换。下面介绍置换的一种简洁的表示方法。

比如我们刚才提到的置换f(1)=3, f(2)=2, f(1)=3,可以简记为 (132) ,在这个表示中,每个数的函数值是紧跟在它后面的那个,如果后面是括号“)”,其函数值回到这个括号里面的第一个数。


每个置换都可以这样表示。

再举个例子:g(1)=3, g(2)=4, g(3)=1,g(4)=2,可以简记为 (13)(24).

而(123)(45)(6) 则表示这样一个置换:

h(1)=2
h(2)=3
h(3)=1
h(4)=5
h(5)=4
h(6)=6

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发表于 2008-9-6 11:47:22 | 显示全部楼层
好复杂啊。。。。。还是去磨我的丙夜透了
发表于 2008-9-8 20:11:29 | 显示全部楼层
顶!希望楼主继续,支持理论原创!
发表于 2008-9-8 20:42:41 | 显示全部楼层
给个睛吧
 楼主| 发表于 2008-9-8 22:08:22 | 显示全部楼层
继续讲置换的表示。

我们前面讲的置换的简化表示中,如果某些括号中只有一个数,那么这个括号可以省略不写。

比如,7元集合{1,2,...7} 上的置换 (17)(26)(3)(4)(5) 就进一步简化成  (17)(26) 。所有没有出现的数字,置换都没有改变它们。

7元集合{1,2,...7} 上的另外一个置换 (123)表示的就是 (123)(4)(5)(6)(7),也就是说,这个置换的作用就是,4,5,6,7不动,123三个数轮换了一下。

而(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 简写为 (1)

另外,3元集上置换(123)和(231)表示的是同一个置换,都是把1变得2,2变到3,3变到1。

3,置换的个数

1元集{1}上的置换只有一个,就是 (1)。

2元集 {1,2} 上的置换有两个,就是 (1) 和(12)。

3元集{1,2,3} 上的置换有6个,分别是 (1), (12) , (23), (31) ,  (123) 和(132) 。

值得注意,2元集上的(1) 和三元集的(1)是两个不同的置换。我们用这种简略记号时,必须明确置换是在几元集上的。

一般地, n元集{1,2,...,n}上的置换有 n ! 个。(这里 n!=n x (n-1) x .... x 3 x 2 x 1 表示1到n的连乘,称为n 的阶乘)。

这个学过排列组合的朋友都应该知道的。
 楼主| 发表于 2008-9-8 22:17:04 | 显示全部楼层
谢谢各位鼓励,继续写
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