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三阶魔方总变化数

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发表于 2018-1-4 13:28:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
这个问题好像有许多人解答过,我自己思考了一下,也算了一算,由于我才疏学浅,可能会出现一些问题,希望大家可以补充。

首先,容易发现,中心,角块,棱块不能相互转换,中心块永远在中心,角块也永远在角上,所以,我们可以分别计算他们变化数再相乘

中心变化数简单,只有一种

棱块的变化,第一个棱块有12个位置2种状态,第二个11个位置,2种状态,第三个...直到第十个,第十个会有3个位置,但是根据我们玩魔方的经验,单独两个棱块是不能互换位置,所以十一,十二个棱块的位置固定,但是第十一个棱块可以有2个状态,不过第十二个就只有一种状态可以出现。所以一共有一共有(12*11*10*...*4*3)*2^11=12!*2^11/2

角块的变化,同理,第一个角块有8个位置可选,有3种状态,第二个7个位置,3种状态...因为2个角块也不可以互换位置,所以第七个角块和第八个角块的位置是固定的,同样的第七个角块状态有三种,第八个状态固定,所以总共有8!*3^7/2             (过程省略)

一共有12!*2^11/2*8!*3^7/2=12!*8!*3^7^2^9

然后我发现貌似跟网上的结果不太一样,可能还有什么问题。。。


注:状态指单个方块翻转的情况
最后两个棱块位置固定和最后两个角块位置固定我没有证明,但我觉得应该是对的(可以,很不严谨),希望可以帮忙证明一下
发表于 2018-1-4 17:55:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 wumu 于 2018-1-4 18:27 编辑

所谓单单交换两个块,就是让角块簇发生一次奇偶变换而棱块簇不变;或者棱块簇变换而角块簇不变。
而三阶魔方的角块簇和棱块簇始终是同奇同偶的,于是马上可以推论,不可能单单交换两个块(无论角块还是棱块)。

角块和棱块随机组装时,位置总变化数是8!*12!,其中
角块为奇态,棱块也为奇态;
角块为偶态,棱块也为偶态;
角块为奇态,棱块却为偶态;
角块为偶态,棱块却为奇态,
四种情况各占8!*12!的1/4。前两种是转得出的正确态,后两种是组装得出但转不出的错误态,所以,角块和棱块的位置变化总数为
8!*12!/4  +  8!*12!/4  = 8!*12!/2
所以,根据“不能单单交换两个块”来修正位置变化数时,只要乘一次1/2 就是这样来的。

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 楼主| 发表于 2018-1-4 13:28:51 | 显示全部楼层
好久没玩魔方了,我现在avg18.5是真的做不到了。。(滑稽)
发表于 2018-1-4 14:38:23 | 显示全部楼层
每个角块貌似都有八个位置可选吧

点评

此外,确切说,第一个角块有8个位置可选,第二个就只有7个位置可选,第三个6个,……所以,角块的位置变化数就是8!(暂时还未考虑上述的修正——乘以1/2。)  发表于 2018-1-6 17:36
角块和棱块的位置变化数,最好统一计算,即(8!*12!)/2 。  发表于 2018-1-6 17:31
发表于 2018-1-4 17:36:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 wumu 于 2018-1-4 18:23 编辑

你有个笔误:一共有12!*2^11/2*8!*3^7/2=12!*8!*3^7^2^9 应为一共有12!*2^11/2*8!*3^7/2=12!*8!*3^7*2^9。

你的计算有个错误:你在计算棱块的位置变化数时,你已经把12!修正为12!/2 了;你在计算角块的位置变化数时,又把8!修正为8!/2。
这就重复修正了。
应该是,棱块和角块统一修正一次,也就是(12!*8!) / 2 ,因为“不可能单单交换两个块”是指,这两个块或者是角块,或者是棱块,反正不能单单交换两个块(无论它俩是角块还是棱块),所以,棱块和角块的(组装时的位置变化总数)12!*8!,只要乘一次1/2,就排除了单单交换两个块的错误态。

这样,就应该是 12!*2^11*8!*3^7/2=12!*8!*3^7*2^10 。
发表于 2018-1-4 19:01:10 | 显示全部楼层
对,乌木老师
发表于 2018-2-2 10:39:26 | 显示全部楼层
中心块朝向也要算进去,玩过有向魔方的都知道。
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